Question

f(x)是R上的奇函数，且x>=0时，f(x)=x^2,若对任意 t<=x<=t+2,不等式f(x+t)>=f(x)恒成立，求t的取值范围？

Answer 1

设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>=0时,f(x)=x^2.若对任意的x属于[t,t+2],不等式f(x+t)>=2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是?
【解】
当x≥0时，f(x)=x²
∵函数是奇函数
∴当x<0时，f(x)=-x²
∴f(x)={f(x)=x² x≥0
{f(x)=-x² x<0
∴f(x)在R上是单调递增
且满足2f(x)=f(√2x)
∵不等式f(x+t)≥2f(x)=f(√2x)在[t,t+2]恒成立
∴x+t≥√2x在[t,t+2]恒成立
即:x≤(1+√2)t在[t,t+2]恒成立
∴t+2≤(1+√2)t
解得:
t≥√2

Answer 2

当x≤0时，-x≥0，f（x）=-f（-x）=-x²，
证明f（x）在x∈R是增函数即可，
证明过程自己动手试试，注意此函数是分段函数，证明的时候也要分f（x）在x
≥0和x<0的两种情况
此时f（x+t）≥f（x）成立，只需要t≥0

Answer 3

f(x)是R上的奇函数，且x>=0时，f(x)=x^2,说明在R上f﹙x﹚是严格的增函数，
∴f(x+t)>=f(x)等价于 x+t≥x 即t≥0。﹙其他内容用不上﹚