Question

已知实数a不等于0函数f（x）={ax（x-2）^2}x属于R若对任意x属于[-2,1]不等式f（x

Answer 1

x=0时a可以任意取；f(1)=a<32;
0<x<=1时；f(x)<32即a<32/(x(x-2)^2)=32/(x^3-4x^2+4x)恒成立；
只需a<{32/(x^3-4x^2+4x)}的最小值；因为x^3-4x^2+4x恒为正，
所以只需求出（x^3-4x^2+4x)的最大值；它的导数为（x^3-4x^2+4x)`=3x^2-8x+4=
=(3x-2)(x-2);所以(0,2/3)上导数为+，在(2/3,1)上导数为-，
所以（x^3-4x^2+4x)在(0,2/3)上增，在(2/3,1)上减，x=2/3时，函数（x^3-4x^2+4x)取到
最大值32/27；所以a<32*(27/32)=27即可；
-2<=x<0时，f(x)<32即a>32/(x(x-2)^2)=32/(x^3-4x^2+4x)恒成立;
只需a>{32/(x^3-4x^2+4x)}的最大值；因为x^3-4x^2+4x恒为负，
所以只需求出（x^3-4x^2+4x)的最小值；它的导数为（x^3-4x^2+4x)`=3x^2-8x+4=
=(3x-2)(x-2);所以(-2,0)上导数为+，所以（x^3-4x^2+4x)在[-2,0)上增，
x=-2时，函数（x^3-4x^2+4x)取到最小值-32；所以a>32*(-1/32)=-1即可；
所以 a的取值范围 -1<a<27

Answer 2

题目补全

追问

已知实数a不等于0函数f（x）={ax（x-2）^2}x属于R若对任意x属于[-2,1]不等式f（x）小于32恒成立求a的取值范围

追答

f(x)=ax(x^2-4x+4)=ax^3-4ax^2+4ax
求导
导数=3ax^2-8ax+4a=0
(3ax-2a)(x-2)=0
x=2/3或x=2
∵x属于R若对任意x属于[-2,1]
1、当a>0时，x∈[-2,2/3）f(x)为增函数，x∈（2/3,1],f(x)为减函数
因此此时f(x)最大值为f(2/3)=32/27a
∵不等式f（x)小于32恒成立
∴32/27a<32 0<a<27
2、当a<0时，x∈[-2,2/3）f(x)为减函数，x∈（2/3,1],f(x)为增函数
因此，此时f(x)最大值为f(-2)=-8a,
∵不等式f（x)小于32恒成立
∴-8a<32 -4<a<0

综上所述，当0<a<27或-4<a<0时，不等式恒成立。

Answer 3

等于 ====== 不等于