Question

已知实数a不等于0，函数f(x)=ax(x-2)^2,(x属于R)有极大值32,求实数a的值,求函

已知实数a不等于0，函数f(x)=ax(x-2)^2,(x属于R)有极大值32,求实数a的值,求函数f(x)的单调区间

Answer 1

f(x)=a[x^3-4x^2+4x]
f'(x)=a(3x^2-8x+4)
令f'(x)=0 x=2或x=2/3

(1)a>0
x x<2/3 2/3 2/3<x<3 3 x>3
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 增 极大值 减 极小值 增
函数f(x)=ax(x-2)^2,(x属于R)有极大值32,
f(2/3)=2a/3*16/9=32 a=27

(2)a<0
x x<2/3 2/3 2/3<x<3 3 x>3
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 减 极小值 增 极大值 减
函数f(x)=ax(x-2)^2,(x属于R)有极大值32,
f(3)=3a=32 a=32/3>0 舍

所以a=27
增区间（-无穷，2/3）（3，+无穷）

Answer 2

f’(x)=a(3x-2)(x-2)
f(x)在x=2/3和x=2处有极点，
f(2/3)=32a/27,f(2)=0
当a=27时，f(2/3)=32为极大值，

当x＜2/3时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
当2/3＜x＜2时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＞2时，f'(x)＞0，f(x)单调递增。