Question

证明函数f(x)=-x^2在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.(请分析)

Answer 1

f(x+1)-f(x)=-(x+1)^2-(-x^2)
=-(x^2+2x+1)+x^2
=-x^2-2x-1+x^2
=-(2x+1)
当x>0时，-(2x+1)<0,f(x+1)-f(x)<0,f(x+1)<f(x),f(x)是减函数；
当x<0时，-(2x+1)>0,f(x+1)-f(x)>0,f(x+1)>f(x),f(x)是增函数。

Answer 2

设x1〉x2是 f(x)=-x^2的2个根
f(x1)=-x1^2 f(x2)=-x2^2
f(x1)-f(x2)=x2^2-x1^2=(x2-x1)(x2+x1)........①

当x在(-∞,0)上时 ①式大于0 所以增函数
当x在(0,+∞)上时 ①式小于0 所以减函数

Answer 3

设:0<x1<x2,那么有：0>-x1>-x2

又在(-∞,0)上是增函数，所以：f(-x1)>f(-x2)

因为：f(x)=-x^2是偶函数，即：f(-x)=f(x)

所以有：f(x1)>f(x2)

所以，在(0,+∞)上是减函数.