Question

已知 : 三角形ABC的边长为a.b.c, 它的三条中位线组成一个新三角形, 这个新三角形的中位线又组成一个小三角

求 : 小三角形

Answer 1

小三角形的边长分别是：（3/4）a、（3/4）b、（3/4）c。
证明如下：
令△ABC的三条中线分别为：AD、BE、CF。
以CE、CF为邻边作平行四边形CEGF，∴EG＝CF、FG＝CE、FG∥EA。
∵CE＝EA、FG＝CE，∴FG＝EA，又FG∥EA，∴AGFE是平行四边形，
∴FE＝GA、FE∥GA。

∵AF＝BF、AE＝CE，∴FE是△ABC的中位线，∴FE＝BC/2、FE∥BD。
∵BD＝CD，∴BD＝BC/2，结合FE＝BC/2，得：FE＝BD，再结合证得的FE＝GA，
得：GA＝BD。
∵FE∥GA、FE∥BD，∴GA∥BD，结合证得的GA＝BD，得：ADBG是平行四边形，
∴GB＝AD。
由EG＝CF、GB＝AD，得：△BEG是由AD、BE、CF组成的三角形。

令AB与EG的交点为P、延长EF交BG于Q、延长GF交BE于R。
∵AGFE是平行四边形，∴EP＝GP，∴BP是△BEG的一条中线。
∵FE∥GA，∴QF∥GA，又AF＝BF，∴BQ＝GQ，∴EQ是△BEG的另一条中线。
∵F是BP、EQ的交点，∴F是△BEG的重心，∴GR是△BEG的第三条中线。

∵F是△BEG的重心，∴容易求出：BP＝（3/2）BF、EQ＝（3/2）EF、GR＝（3/2）FG。
而BF＝（1/2）AB、EF＝（1/2）BC、FG＝EA＝（1/2）AC，
∴BP＝（3/2）BF＝（3/2）×（1/2）AB＝（3/4）AB＝（3/4）c，
　EQ＝（3/2）EF＝（3/2）×（1/2）BC＝（3/4）BC＝（3/4）a，
　GR＝（3/2）FG＝（3/2）×（1/2）AC＝（3/4）AC＝（3/4）b。

∴小三角形的边长分别是：（3/4）a、（3/4）b、（3/4）c。