Question

离散数学的证明题，若f:A→B是双射，则f-1:B→A是双射

若f:A→B是双射，则f-1:B→A是双射，要有证明过程，考试用的

Answer 1

设f={<a,b>| a∈A∧b∈B∧f(a)=b},而f是双射，
那么有f-1={<b,a>| <a,b>∈f},
由于f是满射，故对于每一个b∈B都有<a,b>∈f,则必有<b,a>∈f-1,而f-1的定义域为B
(这表示f-1定义域取遍整个集合B)
f是单射，故对于每一个b∈B,正好有一个a∈A使得<a,b>∈f,因此对于每个b仅有一个a∈A使得<b,a>∈f-1
(这表示f-1是一个单值映射)
所以f-1满足函数的2个必要条件，所以它是函数

又因为ran(f-1)=dom(f)=A,故f-1是满射，
下面证明f-1是单射，反证，假设b1≠b2时有f-1(b1)=f-1(b2)成立，那么不妨设
f-1(b1)=a1,f-1(b2)=a2,且a1=a2,那么有f(a1)=b1,f(a2)=b2,由于f是一个函数，满足单值条件，故当a1=a2时必有f(a1)=b1=f(a2)=b2，产生矛盾，所以f-1是单射，综上f-1:B→A是双射