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若f是单射，记Y*=f(X),f是X->Y*的双射，结论成立。
若f不是单射，存在x1,x2∈X.y0∈Y,y0=f(x1)=f(x2)。则x1,x2∈f-1({y0})
令A={x1}∈2^X,f-1(f(A))=f-1({y0}),因为x2∉A，x2属于f-1({y0}),所以A≠f-1(f(A))。
若f不是单射，存在x1,x2∈X.y0∈Y,y0=f(x1)=f(x2)。则x1,x2∈f-1({y0})
令A={x1}∈2^X,f-1(f(A))=f-1({y0}),因为x2∉A，x2属于f-1({y0}),所以A≠f-1(f(A))。
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