Question

△ABC中，已知sinC+cosC=1-sin（C/2） （1）求sinC （2）若a²+b²=4（a+b）-8，求c边

Answer 1

（1）
sinC+cosC=1-sinC/2，移项得 sinC-sinC/2 = 1-cosC
由二倍角公式得 2sinC/2 cosC/2-sinC/2 = 2(sinC/2)^2
因为sinC/2≠0，所以两边消去sinC/2得 2cosC/2-1 = 2sinC/2
整理得 sinC/2-cosC/2=1/2
根据辅助角公式得sin(C/2-π/4)=√2 /4
再由二倍角公式得cos(C-π/2)=1-2sin(C/2-π/4)^2=3/4
∴sinC=cos(C-π/2)=3/4
(2)
移项、配方得 (a-2)^2+(b-2)^2=0 故a=b=2
由余弦定理 c^2=a^2+b^2-2ab*cosC=4+4-8cosC
又由（1）中 sinC/2-cosC/2=1/2 可知 sinC/2 > cosC/2 >0
所以 cosC=(cosC/2)^2-(sinC/2)^2 < 0，从而 cosC= -√7/4
所以 c^2=8-8cosC=8+2√7=（1+√7)^2
c= 1+√7

Answer 2

解：（1）∵sinC+cosC=1-sinC/2
∴2sinC/2cosC/2+1-2sin²C/2=1-sinC/2
∴sinC／2-cosC／2=1／2
∴sin²C／2-sinC+cos²C／2=1／4
∴sinC=3／4
（2）由sinC/2-cosC/2=1/2＞0得π/4＜c/2＜π/2
即π/2＜C＜π
∴cosC=-√7/4
∵a²+b²=4（a+b）-8
∴（a-2）²+（b-2）²=0
∴a=2，b=2
c²=a²+b²-2abcosC=8+2√7
∴c=1+7