Question

证明：函数z=（x^2+y^2)^(1/2)在（0，0）处连续，但偏导数不存在

Answer 1

证明：(以下sqrt是开方，abs是取绝对值)
连续很好证，你只要求如下极限看是否是0即可(z(0,0)=0)：
lim (x,y趋于0) z(x,y) = z(0,0) = 0. 用二元函数的极限定义证。
对于任意epsilon > 0，取delta = epsilon, 则只要 (x,y) 位于 原点的 delta邻域内，即
sqrt (x^2 + y^2) < delta，也就是 abs [sqrt (x^2 + y^2) - 0] < epsilon，这样二元函数的极限定义就满足了。所以极限是0。
偏导数的话，对x和对y的偏导都是一样的证法，所以这里就只证 z对x的偏导不存在。根据偏导数定义：
z 在原点对x的偏导数
= lim (x趋于0) [ z (x,0) - z (0,0) ] / x
= lim (x趋于0) abs(x) / x
马上可以看到这个极限是不存在的，因为当x从大于0的方向趋于0时，abs(x)=x从而极限为1；而从小于0的方向趋于0时极限为-1，而极限存在要求和方向无关，所以z对x的偏导数在原点不存在。同理可证对y的偏导也是如此。