Question

设等比数列{An}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，则q的值为（）

设等比数列{An}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，则q的值为（） 我知道答案是-2，可是我算出的是-2和1.为什么1不可以呢？？

Answer 1

数列{an}为等比数列，首项a1≠0。
公比q=1时，
Sn=n Sn+1=n+1 Sn+2=n+2
2Sn=2n Sn+1+Sn+2=2n+3
2Sn≠Sn+1+Sn+2，不满足题意，因此公比q≠1
Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则
2Sn=Sn+1+Sn+2
2a1(q^n-1)/(q-1)=a1[q^(n+1)-1]/(q-1)+a1[q^(n+2)-1]/(q-1)
等式两边同除以a1/(q-1)，整理，得
2q^n=q^(n+1)+q^(n+2)
等式两边同除以q^n，整理，得
q²+q-2=0
(q+2)(q-1)=0
q=-2或q=1(舍去)

q=-2

你算出q=1，但是忽略了已知条件Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列。q=1时是不满足已知条件的。出现q=1的原因是你在用a1、q表示Sn时忽略了q=1时，等比数列求和公式是不能用的，解分式方程时又把q-1约分掉了，因此没有发现q=1实际上是方程的增根，应该舍去的，本题应先对q的取值进行讨论，先得到q≠1，然后才能用等比数列求和公式列方程。