Question

求极限问题

lim┬(n→∞)⁡〖(1/n*cos 1/n+2/n*cos 2/n+⋯+(n-1)/n*cos (n-1)/n+n/n*cos n/n〗*sin pai/n
详情请见：
http://zhidao.baidu.com/question/388257884.html

Answer 1

你那幅图中给出的计算方法不对，一楼的回答正确，这个夹逼是不成立的，本题应用定积分的定义来计算。

原式=lim(n→∞)〖(1/n*cos 1/n+2/n*cos 2/n+⋯+(n-1)/n*cos (n-1)/n+n/n*cos n/n〗*(sinπ/n)
=lim(n→∞)〖(1/n*cos 1/n+2/n*cos 2/n+⋯+(n-1)/n*cos (n-1)/n+n/n*cos n/n〗*(1/n)* lim n(sinπ/n)
后面一个极限非常简单，用第一个重要极限明显结果为π
=πlim(n→∞)〖(1/n*cos 1/n+2/n*cos 2/n+⋯+(n-1)/n*cos (n-1)/n+n/n*cos n/n〗*(1/n)
=πlim(n→∞) Σ[(i/n)cos(i/n)]*(1/n) i从1到n
上式极限刚好为定积分的定义
=π∫[0-->1] xcosxdx
=π∫[0-->1] xd(sinx)
=π[0-->1] xsinx -π∫[0-->1] sinxdx
=π*sin1+π*[0-->1] cosx
=π(sin1+cos1-1)