Question

已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d(b,c,d为常数)的导函数f'(x)=3x^2+4x且f(1)=7,设F(x)=f(x)-ax^2

若x属于[0,正无穷]都有F(x)>0成立，求a的取值范围。

Answer 1

由求导函数的法则
对f(x)=x^3+bx^2+cx+d求导得：f'(x)=3x^2+2bx+c
对照已知的导函数f'(x)=3x^2+4x
可得到b=2，c=0
则f(x)=x^3+2x^2+d
又f（1）=7,
即7=1^3+2*1^2+d
得d=4
所以：f(x)=x^3+2x^2+4
则f(x）=f(x)-ax^2=x^3+2x^2+4-ax^2=x^3+（2-a）x^2+4
(1)当a<2时,求导得f'(x)=3x^2+(4-2a)x
令f'(x)=0得x1=0，x2=（2a-4）/3
。且x2<x1(a<2.2a-4<0)
然后求
（负无穷大，x2），（x2，0），（0
正无穷大）这3个区间上的导数的正负号
判断极小值
得极小值=f(0）=0
（2）f(x）=x^3+（2-a）x^2+4≥0
解不等式方程就可以了
得
a小于等于6

Answer 2

f'(x)=3x^2+2bx+c=3x^2+4x，所以b=2，c=0。
f(x)=x^3+2x^2+d，f(1)=1+2+d=7，d=4，f(x)=x^2+2x^2+4。
F(x)=f(x)-ax^2=x^3+(2-a)x^2+4。F'(x)=3x^2+2(2-a)x=x(3x+4-2a)。
1)若a<=2，即(2a-4)/3<=0，则F(x)在区间[0,+无穷)上单调递增，F(0)=4>0。
则对x属于[0,+无穷)，都有F(x)>0成立。
2)若a>2，即(2a-4)/3>0，则F(x)在区间[0,+无穷)上的最小值为
F[(2a-4)/3]=8(a-2)^3/27-4(a-2)^3/9+4=-4(a-2)^3/27+4。
令F(x)=-4(a-2)^3/27+4>0，则解得：a<5，即2<a<5。
综上所述，a的取值范围是(-无穷,5)。

Answer 3

f'(x)=3x^2+2bx+c=3x^2+4x，所以b=2，c=0。
f(x)=x^3+2x^2+d，f(1)=1+2+d=7，d=4，f(x)=x^2+2x^2+4。
F(x)=f(x)-ax^2=x^3+(2-a)x^2+4。F'(x)=3x^2+2(2-a)x=x(3x+4-2a)。
1)若a<=2，即(2a-4)/3<=0，则F(x)在区间[0,+无穷)上单调递增，F(0)=4>0。
则对x属于[0,+无穷)，都有F(x)>0成立。
2)若a>2，即(2a-4)/3>0，则F(x)在区间[0,+无穷)上的最小值为
F[(2a-4)/3]=8(a-2)^3/27-4(a-2)^3/9+4=-4(a-2)^3/27+4。
令F(x)=-4(a-2)^3/27+4>0，则解得：a<5，即2
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Answer 4

函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d(b,c,d为常数)的导函数f'(x)=3x^2+4x；
对照得f`(x)=3x^2+2bx+c
b=2;c=0
f(1)=1+b+c+d=7,
d=4
F(x)=x^3+2x^2+4-ax^2>0即（a-2)x^2
0
只需a-2
0
g`(x)=1-8/x^3=(x^3-8)/x^3=0,
得x=2
0
2时，g(x)=x+4/x^2是增函数
所以x=2时，g(x)=x+4/x^2取到最小值2+4/4=3
所以只需a-2<3;即a<5
a的取值范围是(-∞,5)

Answer 5

函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d(b,c,d为常数)的导函数f'(x)=3x^2+4x；
对照得f`(x)=3x^2+2bx+c b=2;c=0
f(1)=1+b+c+d=7, d=4
F(x)=x^3+2x^2+4-ax^2>0即（a-2)x^2<x^3+4
x=0时，a可以取任意实数；x≠0时，考虑x>0
只需a-2<x+4/x^2恒成立；a-2<[x+4/x^2]min
设g(x)=x+4/x^2, x>0
g`(x)=1-8/x^3=(x^3-8)/x^3=0, 得x=2
0<x<2时，g(x)=x+4/x^2是减函数；x>2时，g(x)=x+4/x^2是增函数
所以x=2时，g(x)=x+4/x^2取到最小值2+4/4=3
所以只需a-2<3;即a<5
a的取值范围是(-∞,5)