Question

若函数f(x)=4x/(x^2+1)在区间(m,2m+1)上单调递增,则实数m的取值范围 （详细过程）

Answer 1

原函数等于4/(x+1/x）
分母是一个基本不等式的形式，而且发现这个函数是一个奇函数，所以讨论x大于0的情况就可以了，根据基本不等式双钩函数图像可以得到：4/(x+1/x）在x大于0小于1是递增函数，x大于1是递减函数。
你这是就可以画出函数图像了，要单调递增，（m,2m+1）一定在【-1,1】这个区间内部，所以得到m大于等于-1,2m+1小于等于1，所以m大于-1，小于等于0就是最后答案（不能等于-1因为区间间(m,2m+1)规定了2m+1必须大于m）

Answer 2

f(x)=4x/(x^2+1)是奇函数，
f`(x)=4×[(x^2+1)-x(2x)]/(x^2+1)^2= - 4×(x^2-1)/(x^2+1)^2
f`(x)<0 解得： -1<x<1
所以f(x) 的增区间是[-1,1]； f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增;
那么：m≥-1,且2m+1≤1,即m≤0;
实数m的取值范围:[-1,0]