Question

求这个函数的最大值

求这个函数的最大值，函数如图。谢谢！过程详细一点

Answer 1

y=√(x^4-3x^2-6x+13)-√(x^4-x^2+1)
=√[(x^2-2)^2+(x-3)^2]-√[(x^2-1)^2+(x-0)^2]

联想f(x)函数值表示的是两个线段的长度差

从而设函数
g(x)=x^2
那么函数g(x)上的任意一点为(x,x^2)

那么原函数f(x)的函数值可以看成是

点A(3,2)与函数g(x)上一点之间的长度,减去,点B(0,1)与函数g(x)上一点之间的长度.

画出图像
且由图像知当上述的两个线段组成一条直线时(即点A(0,1)到点B(3,2)的连线)
(因为此时直线AB与g(x)图像有两个交点,另点A左边的点为C,AB之间的点为D,取点C时最大值为CA-CB=BA,(因为如果g(x)上的一点C'与A,B点构成三角形,则有两边只差小于第三边,即C'A-C'B<AB ,这里都是长度不是向量.))

【由三角形两边之差小于第三边这个定理可以知道,直线与二次函数在左侧的交点时,两距离之差恰为两点距离,达到最大值,因此最大值就是点(3,2)和(0,1)的距离,答案为根号10】

因此
此时有f(x)的最大值即最大值为AB的长度
为(直接用两点间距离公式)
[(2-1)^2+(3-0)^2]^1/2=√10

写出直线AB的解析式
AB:
y=1/3x+1
则解得
该直线与g(x)的图像交点

点C的横坐标为(1-√37)/6
点D的横坐标为(1+√37)/6

综上有当
x=(1-√37)/6 时
有f(x)的最大值为√10

Answer 2

等级不够 稿纸图片貌似不能上
变形为根号（x-2）^2+(x^2-3)^2 减根号(x-0)^2+(x^2-1)^2 其几何意义就是点A（2,3），
B（0,1）
与y=x^2 画出图来 就能知道 所求x在第二象限 三点共线时最大值 即AB俩点距离 2倍根号2