Question

已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动,|AB|=3，点M满足2向量AM=向量MB。

若曲线E的所有线都不能被直线y=k(x-1)垂直平分，求实数k的取值范围
我已经算出M轨迹E的方程是 x^2/4+y^2=1

Answer 1

设M(x,y),依题意A(3x/2,0),B(0,3y),
由|AB|=3得9x^2/4+9y^2=9,
∴M轨迹E的方程是 x^2/4+y^2=1，
设E的弦所在直线方程为y=-x/k+m,代入E的方程得
（1/4+1/k^2)x^2-2mx/k+m^2-1=0,
△（x)=4m^2/k^2-(1+4/k^2)(m^2-1)
=-(m^2-1-4/k^2)>0,
m^2<1+4/k^2,①
设弦的两端为（x1,y1),(x2,y2),则
x1+x2=(2m/k)/(1/4+1/k^2)=8km/(k^2+4),
弦的中点：x=4km/(k^2+4),y=-4m/(k^2+4)+m=mk^2/(k^2+4),
这个中点不在直线y=k(x-1)上，
∴mk^2/(k^2+4)≠k[4km/(k^2+4)-1],
mk≠4km-k^2-4,
m≠（k^2+4)/(3k)，
m^2≠（k^2+4)^2/(9k^2),由①，
（k^2+4)^2/(9k^2)>=1+4/k^2,
两边都乘以9k^2/(k^2+4),得k^2+4>=9,k^2>=5,
k>=√5或k<=-√5.