已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点，满足|AB|=2，点P在线段AB上，且 AP =t

已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点，满足|AB|=2，点P在线段AB上，且AP=tPB（t是不为0的常数），设点P的轨迹方程为C．（Ⅰ）求点P的轨迹方程C；（Ⅱ）若曲... 已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点，满足|AB|=2，点P在线段AB上，且 AP =t PB （t是不为0的常数），设点P的轨迹方程为C．（Ⅰ）求点P的轨迹方程C；（Ⅱ）若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，试求实数t的取值范围；（Ⅲ）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点，点Q的坐标为 ( 3 2 ，3) ，求△QMN的面积S的最大值．展开

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#热议# 普通体检能查出癌症吗？

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（Ⅰ）设点A（a，0），B（0，b），C（x，y），
∵

，即（x-a，y）=t（-x，b-y），即

x-a=-tx

y=t(b-y).

（2分）
则

a=(1+t)x

1+t

．
又∵|AB|=2，即a² +b² =4．
∴

(1+t) 2 x 2

(1+t) 2 y 2

4 t 2

=1 ．
∴点P的轨迹方程C：

x 2

(1+t) 2

y 2

4 t 2

(1+t) 2

=1 ．（5分）
（Ⅱ）∵曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
∴

(1+t) 2

＞

4 t 2

(1+t) 2

，得t² ＜1．
又∵t＞0，∴0＜t＜1．（8分）
（Ⅲ）当t=2时，曲线C的方程为

9 x 2

9 y 2

=1 ．（9分）
设M（x₁ ，y₁ ），N（-x₁ ，-y₁ ），则 |MN|=2

x 1 2 + y 1 2

．
当x₁ ≠0时，设直线MN的方程为 y=

y 1

x 1

x ，
则点Q到直线MN的距离 h=

y 1 -3 x 1 |

x 1 2 + y 1 2

，
∴△QMN的面积 S=

x 1 2 + y 1 2

y 1 -3 x 1 |

x 1 2 + y 1 2

y 1 -3 x 1 | ．（11分）
∴ S 2 =|

y 1 -3 x 1 | 2 =9 x 1 2 +

y 1 2 -9 x 1 y 1 ．
又∵

9 x 1 2

9 y 1 2

=1 ，
∴ 9 x 1 2 +

y 1 2 =4 ．
∴S² =4-9x₁ y₁ ．
而 1=

9 x 1 2

9 y 1 2

≥-2?

3 x 1

3 y 1

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