Question

已知奇函数f(x)=ax^3+bx^2+cx在R上无极值,则a-c/a+c的取值范围

Answer 1

我觉得答案是：【-1，1】
f(x)=ax^3+bx^2+cx为奇函数，可以得到b=0，然后对 f(x)求一阶导数得到3a*x*x+c，如果该一阶导数在实数范围内变号了，那么可以肯定f(x)存在极值点。所以该一阶导数在实数范围内恒非负或者恒非正。所以需要对a的符号进行分类讨论。
a>0时，一阶导数非负，得到c非负，a/c非负
a<0时，一阶导数非正，得到c非正 a/c非负
a=0时，c不为0即可
然后再对a-c/a+c变形的到a-c/a+c=-1+（2）/(1+c/a)，容易发现（2）/(1+c/a)的取值范围是（0,2】，所以a-c/a+c的范围是（-1,1】，前面出现了c/a，所以漏掉了a=0这一情况。于是a=0时，容易得到a-c/a+c=-1.
综上可以得到其取值范围是【-1，1】

Answer 2

导函数3ax2+c，因为是奇函数，所以b=0
无极值说明导函数恒大于0或者恒小于0
a大于0时，c大于等于0
a小于0时，c小于等于0
当a=0时，a-c/a+c=-1
a-c/a+c得到1-2c/(a+c)
因为a和c同号，所以2c/(a+c)大于等于-2小于等于2
所以a-c/a+c大于等于-1，小于等于3