Question

如图，四边形ABCD是正方形，DE平行于AC，AE=AC，求证CF=CE

Answer 1

证明：设正方形边长为1，则AC=AE=√(2)
因为DE∥AC
∴∠CDE=∠ACD=45°
∴∠ADE=90+45=135°
由余弦定理得：(AE^2)=(AD^2)+(DE^2)-2•AD•DE•cos∠ADE
则((√(2))^2)=1+(DE^2)-2•1•DE•(-√(2)/2)
解得DE=[(√(6)-√(2))/2]
(CE^2)=1+([(√(6)-√(2))/2]^2)-2•1•[(√(6)-√(2))/2]•(√(2)/2)
CE=√(3)-1
cos∠DCE={1+((√(3)-1)^2)-([(√(6)-√(2))/2]^2)}/[2•1•(√(3)-1)]
=√(3)/2
∴∠DCE=30°
∴∠ACE=30+45=75°=∠AEC
∴∠CFE=180-30-75=75°=∠AEC
∴CF=CE

Answer 2

证明：
连BD,交AC于O,作△ACE边AC上高EG,
DO=EG=BD/2=AC/2,
AC=AE
∴直角△AEG中,EG=AE/2,
∴∠EAC=30°
∠AEC=75°
∠ECF=∠ACE-∠ACD=75-45=30,
∠EFC=75,
∴CE＝CF