Question

求出下列条件确定的曲线所应满足的微分方程

1、曲线在点（x，y）处的切线斜率等于该店横坐标的平方
2、曲线在点P（x，y）处的法线与x轴的交点为Q，且PQ被y轴平分

Answer 1

解：
1. dy/dx=x²
dy=x²dx
∫dy=∫x²dx
y=x³/3+c.（其中c是一个不定常数）
2.根据题意，P点的坐标为（P(x,y),Q点的坐标为Q(-x,0).
法线PQ的斜率k=(y-0)/[x-(-x)]=y/2x
因为法线垂直于切线，所以
k·dy/dx=-1
dy/dx=-1/k
dy/dx==2x/y
ydy=2xdx
∫ydy=∫2xdx
y²/2=x²-c/2
2x²-y³=c（其中c是一个不定常数）

Answer 2

解：
（1）由题可知dy/dx=x²
所以y=x²/3+c（c为常数）
所以所求曲线的微分方程为y=x²/3+c（c为常数）
（2）由题意知Q的坐标为Q(-x，0)
所以此处法线的斜率为y/2x
由此可得此处的切线的斜率为-2x/y，即 dy/dx=-2x/y
所以ydy=-2xdx 两边积分 ∫ydy=∫-2xdx 则 y²/2=-x²+c 整理得x²+y²/2=c （c为常数）
为曲线所应满足的微分方程x²+y²/2=c （c为常数）