Question

初二勾股定理难题

已知，三角形ABC为等腰直角三角形，角C为90度，P为三角形内一点，PA=3，PB=根号7，PC=1，求角CPB的度数。

Answer 1

将三角形ACP逆时针旋转90度得新的三角形BCD,连PD
因为图形旋转前后为全等形,三角形ACP全等于三角形BCD
所以CP=CD=1,AP=BD=3,角ACP=角BCD
因为角ACP+角BCP=90度,所以角BCD+角BCP=90度
所以三角形PCD为等腰直角三角形,角CPD=45度
所以勾股得PD=根2
因为(根2)^2+(根7)^2=3^2即PD^2+BP^2=BD^2
所以三角形BPD为直角三角形,所以角DPB=90度
所以角CPB=角CPD+角DPB=45度+90度=135度

你们还没学旋转吧,可能有点难理解,
总之你记住被旋转前后的图形是不变,全等形的
明天上课认真听老师讲吧

Answer 2

角CPB为135度
具体方法如下：
设角CPB为角1，角APC为角2，角APB为角3
由余弦定理得，
cos角1=（1+7-x^2）/(2*根号7）
cos角2=（1+9-x^2）/(2*3）
cos角3=（9+7-2*x^2）/(2*根号7）
角3=360度-角1-角2
所以
cos角3=cos（角1+角2）=cos角1cos角2-sin角1sin角2
......................................(*)
把cos角1和cos角2的值化成sin角1和sin角2，分别带入（*）式， 设8-x^2=y，则10-x^2=y+2，
整理可得 2*y^3-16y^2-28y+224=0
（y^2-14）*（y-8）=0
得y=8或y^2=14
因为8-x^2=y，x不能=0，所以舍去
所以y^2=14
又因为cos角1=（1+7-x^2）/(2*根号7）
所以cos角1=（根号2）/2 ，得角CPB=45度或135度
由图可知 角CPB应取大的值
所以角CPB=135度

回答完毕！~~~huhu

Answer 3

（1）证明：过点A做BC的垂线，垂足为E
则：AD²=AE²+DE²
AB²=AE²+BE²
所以AD²—
AB²=DE²-BE²=（DE+BE）（DE-BE）=CD*BC（因为BE=CE，DE=BD+BE）
（2）解：AB²-AD²=BD*CD
过点A做BC的垂线，垂足为E
则：AD²=AE²+DE²
AB²=AE²+BE²
所以AB²-AE²=BE²-DE²=（BE+DE）（BE-DE）=CD*BD（因为BE=CE，BE=DE+BD）