Question

已知向量m=(2cosx+2√3sinx,1),n(cosx,-y),满足向量m*向量n=0，

（1）将y表示为x的函数f(x),并求f(x)的最小正周期。
（2）已知a,b,c分别为△ABC的三个内角，A，B，C对应的边长，若f(A/2)=3,且a=2,求b+c的取值范围

Answer 1

1、
向量m·向量n=2cos²x+2√3sinxcosx - y=0
y=2cos²x+2√3sinxcosx
=2cos²x - 1 + 2√3sinxcosx + 1
=cos2x + √3sin2x + 1
=2[(1/2)cos2x+(√3/2)sin2x] + 1
=2sin(2x + π/6) + 1
T=2π/2=π

2、
f(A/2)=2sin(A + π/6) + 1=3，
sin(A + π/6) =1，0＜A＜π
A=π/3
根据余弦定理，有：a²=b²+c²-2bccosA
即：4=b²+c²-bc=(b+c)²-3bc
∵bc≤(b+c)²/4 (基本不等式，应该学过了吧？，没学过看下面注释)
∴4=(b+c)²-3bc≥ (b+c)² - 3(b+c)²/4 = (b+c)²/4
∴(b+c)²≤16
∴b+c≤4，当b=c即△ABC是等边三角形时，取到最大值4
又∵b+c＞a=2
∴2＜b+c≤4

注：∵(b-c)²=b²+c²-2bc=(b+c)²-4bc≥0，∴bc≤(b+c)²/4

Answer 2

（1）y=2cosx(cosx+√3sinx) +1=cos2x+√3sin2x +1 f(x)=2sin(2x+π/6) +1
周期=π
（2）f(A/2)=3 sin(A+π/6）=1 则 A=π/3 余弦定理 2bc*cosA=b2+c2-a2 cosA=1/2
bc=b2+c2-4 均值定理 √[(b2+c2)/2]>=(b+c)/2>=√(bc)
可得 b+c<=4

Answer 3

1. m·n=2cos²x+2√3sinxcosx - y=0
   y=2cos²x+2√3sinxcosx
   =2cos²x  - 1 + 2√3sinxcosx  + 1
   =cos2x + √3sin2x + 1
   =2[(1/2)cos2x+(√3/2)sin2x] + 1
   =2sin(2x  +  π/6)  +  1
   T=2π/2=π