怎么证明任意一条直线 斜率确定 截距不定 过原点时被椭圆截得的弦的长度最大
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设x²/a²+y²/b²=1 a为长半轴，b为短半轴 不妨设y=kx+m k为定值，m为变量，则这是一个直线系 并且y=kx+m与x²/a²+y²/b²=1相交于 A(x1,y1) B(x2,y2) 则得到方程 (b²+a²k²)x²+2kma²+a²m²-a²b²=0 |x1-x2|=√{[(x1+x2)]²-4x1x2}=[-4a²b²m²+4a²b²(b²+a²k²)]/(b²+a²k²) |AB|=|x1-x2|√(1+k²)={[-4a²b²m²+4a²b²(b²+a²k²)]/(b²+a²k²)}√(1+k²) 其中只有m为变量 显然只需要 m=0 可以得到 |AB|的最大值 即 当y=kx+m过原点时，其与椭圆相交所截长度为最大
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火丰科技
2024-11-13 广告
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直线为y=kx+h，在椭圆上两截点为（acosθ1，bsinθ1）（acosθ2，bsinθ2）
弦长为√（k^2+1）*a丨cosθ1-cosθ2丨
bsinθ=kacosθ+h，变形后为(a^2k^2+b^2)cosθ^2+2ahkcosθ+(h^2-b^2)=0,两解即为θ1，θ2
用韦达定理可求cosθ1+cosθ2和cosθ1*cosθ2，然后就能得到丨cosθ1-cosθ2丨
就能用h表示弦长，最后就是求最值问题了。
弦长为√（k^2+1）*a丨cosθ1-cosθ2丨
bsinθ=kacosθ+h，变形后为(a^2k^2+b^2)cosθ^2+2ahkcosθ+(h^2-b^2)=0,两解即为θ1，θ2
用韦达定理可求cosθ1+cosθ2和cosθ1*cosθ2，然后就能得到丨cosθ1-cosθ2丨
就能用h表示弦长，最后就是求最值问题了。
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