Question

设向量B可以由向量组a1、a2...am线性表示,但不可以由向量组a1、a2...a(m-1)线性表示,

证明a1、a2...am与a1、a2...a(m-1),B有相同的秩

Answer 1

证明：证明秩相等就是要证明极大无关组里头的向量个数相等。不妨设向量组
a1、a2...a(m-1)
极大无关组的个数为s。那么我说a(m)一定是不可以由这个向量组线性表示的，这是因为，如果可以的话，那么由于B可以表示为a1、a2...am，即存在不全为零的实数 b1, b2, .., bm，以及不全为零的实数c1, c2, ..., c(m-1)，使得
B = sum (i从1到m) a(i)bi = sum (i从1到m-1) a(i)bi + a(m)bm
= sum (i从1到m-1) a(i)bi + bm * [sum ( j 从1到m-1) a(j)cj ]，这就等于是说B可以由向量a1、a2...a(m-1)表示了，矛盾。
于是，向量组a1、a2...am极大无关组的个数就是s+1（多了am），而向量组
a1、a2...a(m-1),B的极大无关组也是 s+1，因为题设已知条件说了，B不可以由剩下的表示出来。所以秩相等。

追问

能不能有式子说明一下??语言太抽象,看不懂

追答

语言都觉得抽象？一般都是说式子看不懂，式子抽象。你哪句不明白吧，问具体的我再说。另外，你好好复习下极大无关组的定义，而且耐心看我的证明，同时要思考的看不要一点脑子都不动。
以上的语言部分都是用很简单的逻辑进行的，这些基本的推理能力你还是得有。式子我下面有啊，你那个都能看懂为何看不懂文字？