Question

证明：根号n开n次方(n趋向于无穷大) = 1

Answer 1

具体回答如下：

证明：

设n次根号(n)=1+tn

则0<tn

n=(1+tn)^n

=1+ntn+n(n--1)/2*tn^2+...>n(n--1)/2*tn^2

可知：tn^2<2/(n--1)

所以：0<tn<根号(2/(n--1))

所以tn趋于0时，n次根号(n)趋于1。

极限的意义：

和实数运算的相容性，譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

与子列的关系，数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

Answer 2

记n次根号(n)=1+tn，则0<tn，且
n=(1+tn)^n=1+ntn+n(n--1)/2*tn^2+...>n(n--1)/2*tn^2，于是有
tn^2<2/(n--1)，综上有
0<tn<根号(2/(n--1))，因此tn趋于0，
n次根号(n)趋于1。