Question

若F1.F2是双曲线x²/9-y²/16=1的左、右两个焦点，点p在双曲线上，且PF1×PF2=

2，求∠F1PF2的大小。

Answer 1

^2是平方

双曲线中，a=√16=4，b=√9=3，则f=√(a^2+b^2)=√(4^2+3^2)=5

则|PF1-PF2|=2a=2*4=8，F1F2=2f=2*5=10

不妨设F1是左焦点，不妨再设PF1>PF2

向左转|向右转

 

若不然可以作P关于y轴的对称点P’

则P'也在双曲线上，且由PF1F2P'为等腰梯形（P、P和'F1、F2都关于y轴对称）

得P、F1、F2、P'四点共圆，有∠F1P'F2=∠F1PF2=60°，就有P‘F1>P’F2

所以可以设PF1>PF2

则PF1-PF2=8，设PF2=x，则PF1=8+x

在△PF1F2中由余弦定理，F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2PF1*PF2cos∠F1PF2

即10^2=(8+x)^2+x^2-2*(8+x)*x*cos60°

得x^2+8x=36

过F1作F1H⊥PF2交PF2于H

则S△F1PF2=F1H*PF2/2=PF1*sin∠F1PF2*PF2/2=(8+x)*sin60°*x/2

                    =(x^2+8x)*√3/4=36*√3/4=9√3