Question

已知f[f(x)]=X4－6X2＋6，求f(x)的表达式是多少？

X的四次方，减去6倍X的平方，再加上6

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c 则f[f(x)]=a(f(x))^2+bf(x)+c =a(a^2x^4+abx^3+acx^2+abx^3+b^2x^2+bcx+acx^2+bcx+c^2)+b(ax^2+bx+c)+c =a^3x^4+2a^2bx^3+a(2ac+b^2)x^2+2abcx+ac^2+abx^2+b^2x+ac^2+bc+c =a^3x^4+2a^2bx^3+(2a^2c+ab^2+ab)x^2+(2abc+b^2)x+ac^2+bc+c 得a^3=1 2a^2b=0 2a^2c+ab^2+ab=-6 (2abc+b^2)=0 ac^2+bc+c=6 得a=1 b=0 c=-3 也就是f(x)=x^2-3. 简便的方法为：配方得， f[f(x)]=x^4-6x^2+6=(x^2-3)^2-3 f(x)=x^2-3

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