Question

已知函数f（x）=2x次方-2负x次方数列｛an｝满足f（log2an）=-2n.（1） 证明数列｛an｝递减数列

（1） 证明数列｛an｝递减数列

Answer 1

an>0
f(x) = 2^x - 2^(-x) = [2^(2x) - 1] / 2^x
f(㏒2 an) = 2^(㏒2 an) - 2^(-㏒2 an) = an - 1/an = -2n
同样， f(㏒2 an+1) = (an+1) - 1/(an+1) = -2(n+1)
以上两式相减
(an+1) - an + 1/an - 1/(an+1) = -2
[(an+1) - an] (1 + 1/(an* an+1)^) =-2 <0
[(an+1) - an] <0,数列递减。

Answer 2

f(x)=2^x-2^(-x); f（log2an）=-2n可化为：an-(1/an)=-2n;
通项：a(n+1)-1/a(n+1)=-2n -2 以上二式相减得：a(n+1)-an+1/an-1/a(n+1)=-2
即：[a(n+1)-an][1+1/(ana(n+1))]=-2<0;
由于an>0; 所以 a(n+1)-an<0
所以数列{an}是递减数列

Answer 3

f(log2an)=an-（1/an）=-2n①,取n为n-1得：an-1-(1/an-1)=2(n-1)②，
①-②得：(an-an-1)-(an-an-1)=-2；通分整理可得：：(an-an-1)(1+1/an*an-1)=-2；
因为an当真数故an>0，所以an-an-1<0即an<an-1，所以数列｛an｝是递减数列。

Answer 4

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