Question

设函数f(x)=log2X-logx4(0<x<1),数列{a}的通项a满足f(2的an次方)=2n(n属于N*)

设函数f(x)=log2X-logx4(0<x<1),数列{a}的通项a满足f(2的an次方)=2n(n属于N*)
(1) 求数列{a}的通项公式.
(2)判定数列{a}的单调性.

Answer 1

(1)
f(x)=log2X-logx4=log2X-log2(4)/log2X
=log2X-2/log2X

f(2的an次方)=2n
即log2(2的an次方)-2/log2(2的an次方)=an-2/an=2n
an^2-2n·an-2＝0 （1）

此时2的an次方应该满足函数的定义域，即0<2的an次方<1
an<0

根据(1)解得：an=n-√(n^2+2)

(2)an=n-√(n^2+2)=-2/[n+√(n^2+2)] 分子有理化！
a(n+1))=-2/[n+1+√[(n+1)^2+2]>-2/[n+√(n^2+2)]=an
即：a(n+1)>an

{an}为单调递增！

后话：an<0,但不断接近0

Answer 2

(1)
f(x)=log2X-logx4=log2X-log2(4)/log2X
=log2X-2/log2X
f(2的an次方)=2n
即log2(2的an次方)-2/log2(2的an次方)=an-2/an=2n
an^2-2n·an-2＝0
（1）
此时2的an次方应该满足函数的定义域，即0<2的an次方<1
an<0
根据(1)解得：an=n-√(n^2+2)
(2)an=n-√(n^2+2)=-2/[n+√(n^2+2)]
分子有理化！
a(n+1))=-2/[n+1+√[(n+1)^2+2]>-2/[n+√(n^2+2)]=an
即：a(n+1)>an
{an}为单调递增！
后话：an<0,但不断接近0