Question

设函数f(x)=log2x-logx2（0<x<1），数列{an}满足f(2^an)=2n(n=1,2，……)

Answer 1

(1)
f(x)=log2X-logx2=log2X-log2(2)/log2X
=log2X-1/log2X
f(2的an次方)=2n
即log2(2的an次方)-1/log2(2的an次方)=an-1/an=2n
an^2-2n·an-1＝0
（1）
此时2的an次方应该满足函数的定义域，即0<2的an次方<1
an<0
根据(1)解得：an=n-√(n^2+1)
(2)an=n-√(n^2+1)=-1/[n+√(n^2+1)]
分子有理化！
a(n+1))=-1/[n+1+√[(n+1)^2+1]>-1/[n+√(n^2+1)]=an
即：a(n+1)>an
{an}为单调递增！
后话：an<0,但不断接近0

Answer 2

(1)
f(x)=log2X-logx2=log2X-log2(2)/log2X
=log2X-1/log2X
f(2的an次方)=2n
即log2(2的an次方)-1/log2(2的an次方)=an-1/an=2n
an^2-2n·an-1＝0
（1）
此时2的an次方应该满足函数的定义域，即0<2的an次方<1
an<0
根据(1)解得：an=n-√(n^2+1)
(2)an=n-√(n^2+1)=-1/[n+√(n^2+1)]
分子有理化！
a(n+1))=-1/[n+1+√[(n+1)^2+1]>-1/[n+√(n^2+1)]=an
即：a(n+1)>an
{an}为单调递增！
后话：an<0,但不断接近0