Question

高中数学函数难题求解

f(x)可导且不恒为零,x∈(0,+∞),g(x)=f(x)/x²
g(x)'≥0恒成立，且存在常数c使得f(x)<c恒成立
试判断g(x)＜0是否恒成立
答案好像是 ——是

请详细些，可追加分数哦！

Answer 1

望采纳~

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问下，你是看答案的么。。。我就是不太接受这种方法才问的呃
答案上是提供这样的方法

追答

我是大一的，刚学。。。

Answer 2

是特拉法
不懂就问

追问

你妹的。。。我是海迷，加张小图happy一下罢了（特尔法尔加 沃特尔 D 罗）
话说这题你会么

追答

我不是?

Answer 3

换言之：
已知x∈(0,+∞),x^2*g(x)<c恒成立，g'(x)>=0，g(x)不恒为0.如果c<=0，显而易见成立。以下认为c>0.
f(x)=x^2*g(x)
f'(x)=2x*g(x)+x^2*g'(x)
假设存在x0>0使g(x0)>0，则此时f'(x0)>0.
假定f'(x)也是连续函数，则存在(x0,x0+Δx)使f'(x)>0
f(x)成了增函数。又f(x0)=x0^2*g(x0)>0,则此区间内f(x)>0。
从而这个区间内g(x)>0,；g(x0+Δx)>0,
假设(x0+Δx,+∞)上存在一点x1使得g(x1)<g(x0+Δx),则由拉格朗日中值定理得存在x2∈(x0+Δx,x1)使得g'(x2)=[g(x1)-g(x0+Δx)]/[x1-x0-Δx]<0.这与g'(x)>=0矛盾。
即(x0+Δx,+∞)上不存在存在x1使g(x1)<g(x0+Δx),
即(x0+Δx,+∞)上g(x1)>=g(x0+Δx)>0.

整理一下上面说的，就是：
假设存在x0>0使g(x0)>0，则g(x)在(x0,+∞)上g(x)>min{g(x0+Δx),g(x0)}=g(x0)>0
从而在(x0,+∞)上f(x)=x^2*g(x)>=x^2*g(x0)，与f(x)有上界矛盾。
从而不存在x0>0使g(x0)>0.
也就是说，只要证明
不存在x0>0使得g(x0)=0即可。

假定存在x0>0使得g(x0)=0，则f'(x0)>=x0^2*g'(x0)>=0.
则在x0的邻域(x0,x0+Δx)内g(x)>=0.上面证明了不可能g(x)>0，则这个邻域内g(x)=0.

则对任意x1>x0+Δx，必然有g(x1)=0.
从而这里得出的结论是：
假定存在x0>0使得g(x0)=0，则在(x0,+∞)上g(x)=0.

从而由此可以构造一个分段函数的例子：
g(x)=-(x-1)^2,0<x<=1
g(x)=0,x>1
这个例子充分说明，原命题不成立。 THE END