Question

设函数f（x）在[0，π]上连续，且∫π0f(x)dx＝0，∫π0f(x)cosxdx＝0，试证明：在（0，π）内至少存在两

设函数f（x）在[0，π]上连续，且∫π0f(x)dx＝0，∫π0f(x)cosxdx＝0，试证明：在（0，π）内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f（ξ1）=f（ξ2）=0．

Answer 1

【解法一】令 F（x）=

∫

x 0

f(t)dt，显然，F（0）=0．由已知条件可得，F（π）=0．
因为 0=

∫

π 0

f(x)cosxdx=

∫

π 0

cosxdF（x）=F(x)cosx

|

π 0

+

∫

π 0

F（x）sinxdx=

∫

π 0

F（x）sinxdx，
利用积分中值定理，存在ξ∈（0，π），使得 F（ξ）sin ξ=0．注意到 sin ξ＞0，故有 F（ξ）=0．
从而，F（0）=F（ξ）=F（π）=0．
在区间[0，ξ]与[ξ，1]上分别利用罗尔定理可得，至少存在ξ₁ ∈[0，ξ]，ξ₂∈[ξ，1]，
使得 F′（ξ₁）=F′（ξ₂）=0．
即：f（ξ₁）=f（ξ₂）=0．
【解法二】由

∫

π 0

f(x)dx=0 可知，存在 ξ₁∈（0，π），使得 f（ξ₁）=0．
否则，f（x） 在区间 （0，π） 内恒为正数或者负数，由积分的保号性可知，

∫

b a

f(x)dx为正数或者负数，与  

∫

π 0

f(x)dx=0 矛盾．
反设结论不成立，即：f（x）=0 在区间 （0，π）内仅有一个实根 x=ξ₁．
由于  

∫

π 0

f(x)dx=0，故 f（x） 在区间 （0，ξ₁）与 （ξ₁，π）上异号．
不妨设 f（x） 在区间 （0，ξ₁）上恒为正数，在区间 （ξ₁，π）上恒为负数．
由已知条件计算可得，
     0=

∫

π 0

f(x)cosxdx-cos（ξ₁）

∫

π 0

f(x)dx 
=

∫

π 0

f（x）（cosx-cosξ₁）dx
=

∫

ξ1 0

 f（x）（cosx-cosξ₁）dx+

∫

π ξ1

 f（x）（cosx-cosξ₁）dx
=I₁+I₂，
因为余弦函数 cosx 在 （0，π）上为单调减函数，并注意到f（x） 在区间 （0，ξ₁）上恒为正数，在区间 （ξ₁，π）上恒为负数，
故有 I₁＞0，I₂＞0，与 I₁+I₂=0 矛盾．故反设不成立，即在区间 （0，π） 上，除 ξ₁外，f（x）至少还有一个零点ξ₂．