Question

已知命题p：?a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，1a+1b＝3；命题q：?x∈R，x2-x+1≥0恒成立．则命题?p且q是___

已知命题p：?a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，1a+1b＝3；命题q：?x∈R，x2-x+1≥0恒成立．则命题?p且q是______命题（填“真”或“假”）．

Answer 1

先看命题p：
∵a，b∈（0，+∞），且a+b=1
∴

1

a

+

1

b

＝(a+b)(

1

a

+

1

b

)＝2+

b

a

+

a

b

而

b

a

+

a

b

≥2

b a ? a b

＝2，当且仅当正数a=b时取值等号
∴

1

a

+

1

b

的最小值为4，
说明命题p：：?a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，

1

a

+

1

b

＝3是错误的；
再看命题q：
∵x²-x+1=(x?

1

2

) 2 +

3

4

≥

3

4

，当且仅当x=

1

2

时取值等号
∴命题q：?x∈R，x²-x+1≥0恒成立，是真命题．
∵p是假命题，说明?p是真命题，并且q是真命题
∴?p且q是真命题
故答案为：真