Question

P为椭圆X＾2／25＋Y＾2／9＝1上一点，F1，F2为左右焦点，若∠F1PF2＝120度,求△F1PF2的面积

Answer 1

分析：先利用椭圆定义求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值，因为知道焦点三角形的顶角，利用余弦定理求出|PF1||PF2|的值，再代入三角形的面积公式即可．

解答：解：由椭圆x^2/25+y^2/9=1方程可知，a=5，b=3，∴c=4

∵P点在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点，

∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8

在△PF1F2中，cos∠F1PF2=|PF1|^2+|PF2|^2-|F1F2|^2   /   2|PF1||PF2|

=(|PF1|+|PF2|)^2-2|PF1||PF2|-|F1F2|^2  /  2|PF1||PF2|

=10^2-2|PF1||PF2|-8^2  /  2|PF1||PF2|=36-2|PF1||PF2|  /  2|PF1||PF2|=cos60°=1/2

∴72-4|PF1||PF2|=2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|=12

又∵在△F1PF2中，S△PF1F2=(1/2)*|PF1||PF2|sin∠F1PF2

∴S△PF1F2=(1/2)×12sin60°=3倍根号3

故答案为3倍根号3

追问

你题目看错了。∠F1PF2＝120度,不是60度

Answer 2

a=5，b=3，c^2=a^2-b^2=25-9=16，c=4
|有椭圆焦点三角形面积公式：S△F1PF2=b^2*tan(θ/2) 其中θ=∠F1PF2
∴ S=9*tan60°=9√3

证明：
对于焦点△F1PF2，设PF1=m，PF2=n，则m+n=2a 　　
在△F1PF2中，由余弦定理: 　　
(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ 　　
即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ) 　　
∴mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2 　　
即 mn=2b^2/(1+cosθ) 　　
S=(mnsinθ)/2=b^2*sinθ/(1+cosθ) 　　
=b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)]^2 　　
=b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2) 　　
=b^2*tan(θ/2)

Answer 3

由椭圆x²/25+y²/9=1，知a=5，b=3，所以c=4，|F1F2|=2c=8，
设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a=10，所以m²+n²+2mn=100 ①，
在△F1PF2中，|F1F2|²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
即m²+n²-2mncos120°=m²+n²+mn=64 ②，
①-②得mn=36，
所以△F1PF2的面积为S=mnsin120°/2=9√3。