Question

满足条件AB=2,AC=根号2BC的△ABC的面积最大值

我想知道128是怎么来的

Answer 1

方法一：
由余弦定理，有：
cosC＝（AC^2＋BC^2－AB^2）/（2AC×BC）＝（2BC^2＋BC^2－4）/（2√2BC^2），
∴（cosC）^2＝［3/（2√2）－√2/BC^2］^2＝9/8－3/BC^2＋2/BC^4，
∴（sinC）^2＝1－（cosC）^2＝1－（9/8－3/BC^2＋2/BC^4）＝－1/8＋3/BC^2－2/BC^4，
∴sinC＝√（－1/8＋3/BC^2－2/BC^4）。
∴△ABC的面积
＝（1/2）AC×BCsinC＝（1/2）√2BC^2√（－1/8＋3/BC^2－2/BC^4）
＝（√2/2）√（－BC^4/8＋3BC^2－2）＝（√2/2√8）√（－BC^4＋24BC^2－16）
＝（1/4）√［128－（BC^4－24BC^2＋144）］＝（1/4）√［128－（BC^2－12）^2］。
显然，当BC^2－12＝0时，△ABC的面积有最大值为：（1/4）√128＝（1/4）√（64×2）＝2√2。

方法二：
设BC＝x，则AC＝√2x。
∴△ABC的半周长p＝（x＋√2x＋2）/2。
∴p－BC＝（x＋√2x＋2）/2－x＝（√2x＋2－x）/2，
　p－AC＝（x＋√2x＋2）/2－√2x＝（x＋2－√2x）/2，
　p－AB＝（x＋√2x＋2）/2－4＝（x＋√2x－2）/2。
∴p（p－AC）＝［（x＋2）^2－2x^2］/4＝（x^2＋4x＋4－2x^2）/4＝［4x－（x^2－4）］/4，
　（p－BC）（p－AB）＝［2x^2－（x－2）^2］/4＝［4x＋（x^2－4）］/4。
∴p（p－AC）（p－BC）（p－AB）＝［16x^2－（x^2－4）^2］/16。

由海伦公式，有：
△ABC的面积
＝√［p（p－AC）（p－BC）（p－AB）］＝（1/4）√［16x^2－（x^2－4）^2］
＝（1/4）√（16x^2－x^4＋8x^2－16）＝（1/4）√（－x^4＋24x－16）
＝（1/4）√［128－（x^4－24x^2＋144）］＝（1/4）√［128－（x^2－12）^2］。
显然，当x^2－12＝0时，△ABC的面积有最大值为：（1/4）√128＝（1/4）√（64×2）＝2√2。

方法三：
以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，使点C在x轴的上方。
显然，A、B的坐标分别是（－1，0）、（1，0）。
令点C的坐标为（m，n）。则：△ABC的面积＝（1/2）｜AB｜n＝（1/2）×2n＝n。

∵｜AC｜＝√2｜BC｜，
∴√［（m＋1）^2＋（n－0）^2］＝√2×√［（m－1）^2＋（n－0）^2］，
∴（m＋1）^2＋n^2＝2（m－1）^2＋2n^2，
∴n^2＝（m＋1）^2－2（m－1）^2＝m^2＋2m＋1－2m^2＋4m－2＝－m^2＋6m－1
　＝－（m^2－6m＋9）＋8＝－（m－3）^2＋8。
∴当m－3＝0时，n^2有最大值为8，∴n有最大值为2√2，即：△ABC的面积最大值为2√2。

Answer 2

满足条件AB=2,AC=√2*BC，△ABC的面积最大值
解：
根据：三角形二边之和大于第三边
AB＝2,
假设BC>2
则2+BC>AC
2+BC>√2*BC
BC(√2-1)<2
BC<2/(√2-1)
BC<[2*(√2+1)]/[(√2)²-1²]
BC<2√2+2
AC的最大值：√2*(2√2+2)=2√2+4

公式：SinC=2ab/(a²+b²-c²)
2ab<2*(2√2+2)* (4+2√2)
<8*(√2+1)* (√2+2)
<8*(2+3√2+2)
<8*(4+3√2)
<32+24√2
a²<(2√2+2)²
a²<8+8√2+4
a²<12+8√2
b²< (4+2√2)²
b²< 16+16√2+8
b²< 24+16√2
C²=2²=4
a²+b²-c²<12+8√2+24+16√2-4
a²+b²-c²<32+24√2
SinC<2ab/(a²+b²-c²)
SinC<(32+24√2)]/(32+24√2)
SinC<1

三角形面积公式：
s=(1/2)*ab*sinC

s<(1/2)*ab*sinC
s<(1/2)*(32+24√2)*1
s<16+12√2
三角形面积最大值不超过：16+12√2

Answer 3

设BC＝x，则AC＝根号2x，根据面积公式有S三角形ABC＝1/2AB×BC×SINB=1/2×2X根号1-COS2B，根据余弦定理有COSB=AB2+BC2-AC2／2AB×BC=4-x2／4x，，代入上式得S三角形ABC＝x根号1－（4－x／4x）2＝根号128－（x－12）2／16．由三角形三边关系有根号2x＋x＞2，x＋2＞根号2x　，解得2根号2－2＜x＜2根号2＋2　 ，当x＝2根号3是三角形面积最大为2根号2