如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=11．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边始终经
如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=11．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．（1）△CDP与△P...
如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=11．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．（1）△CDP与△PAE相似吗？如果相似，请写出证明过程；（2）当∠PCD=30°时，求AE的长．
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（1）△CDP∽△PAE．（1分）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，（2分）
∴∠PCD+∠DPC=90°，（3分）
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，（4分）
∴∠PCD=∠EPA，（5分）
∴△CDP∽△PAE．（6分）
（2）在Rt△PCD中，由tan∠PCD=
，（7分）
∴PD＝CD?tan∠PCD＝6?tan30°＝6×
＝2
，（8分）
∴AP＝AD?PD＝11?2
，（9分）
解法1：由△CDP∽△PAE知：
＝
，
∴AE＝
＝
＝
?2，（10分）
解法2：由△CDP∽△PAE知：∠EPA=∠PCD=30°，
∴AE＝AP?tan∠EAP＝(11?2
?tan30°＝
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，（2分）
∴∠PCD+∠DPC=90°，（3分）
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，（4分）
∴∠PCD=∠EPA，（5分）
∴△CDP∽△PAE．（6分）
（2）在Rt△PCD中，由tan∠PCD=
| PD |
| CD |
∴PD＝CD?tan∠PCD＝6?tan30°＝6×
| ||
| 3 |
| 3 |
∴AP＝AD?PD＝11?2
| 3 |
解法1：由△CDP∽△PAE知：
| PD |
| AE |
| CD |
| AP |
∴AE＝
| PD?AP |
| CD |
2
| ||||
| 6 |
| 11 |
| 3 |
| 3 |
解法2：由△CDP∽△PAE知：∠EPA=∠PCD=30°，
∴AE＝AP?tan∠EAP＝(11?2
| 3) |
