Question

已知⊙C：x2+y2-2x-2y+1=0，直线l与⊙C相切且分别交x轴、y轴正向于A、B两点，O为坐标原点，且|OA|=a，|OB

已知⊙C：x2+y2-2x-2y+1=0，直线l与⊙C相切且分别交x轴、y轴正向于A、B两点，O为坐标原点，且|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．（Ⅰ）求线段AB中点的轨迹方程；（Ⅱ）求△ABC面积的极小值．

Answer 1

⊙C：（x-1）²+（y-1）²=1，A（a，O），B（O，b）．
设直线AB的方程为
bx+ay-ab=0，∵直线AB与⊙C相切，
∴

|b+a?ab|

a2+b2

＝1?ab?2(a+b)+2＝0①…（2分）
（Ⅰ）设AB中点P（x，y），则x＝

a

2

，y＝

b

2

?a＝2x，b＝2y
代入①得P点的轨迹方程：2xy-2x-2y+1=0，∵a＞2，∴x＞1．
∴P点的轨迹方程为（x-1）（y-1）=

1

2

（x＞1）．…（7分）
（Ⅱ）由①得ab＝2(a+b)?2≥4

ab

?2?ab?4

ab

+2≥0?

ab

≥2+

2

，
当且仅当a＝b＝2+

2

时等号成立．
S_△AOB=

1

2

ab≥3+2

2

．…（12分）