Question

计算二重积分∫∫Dx2+y2dxdy，其中积分区域D是由直线x=1，y=0及曲线y=2?x2在第一象限内围成的区域

计算二重积分∫∫Dx2+y2dxdy，其中积分区域D是由直线x=1，y=0及曲线y=2?x2在第一象限内围成的区域．

Answer 1

解：积分区域如右图阴影部分所示．
利用极坐标计算该二重积分：

∫∫

D

x2+y2

dxdy．
由于直线x=1在极坐标下的方程为r=secθ，故对r分时的上下限分别为

2

与secθ．
在直线x=1与曲线y＝

2?x2

的交点（1，1）处，θ的取值为

π

4

，故θ的积分上下限分别为

π

4

与0．
则积分区域D={（r，θ）|0≤θ≤

π

4

，secθ≤r≤

2

}
故原式=

∫

π 4 0

dθ

∫

2 secθ

r2dr=

1

3

∫

π 4 0

(2

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