Question

阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个

阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形A 1 B 1 C 1 D 1 是矩形ABCD的“加倍”矩形．请你解决下列问题：（1）边长为a的正方形存在“加倍”正方形吗？如果存在，求出“加倍”正方形的边长；如果不存在，说明理由．（2）当矩形的长和宽分别为m，n时，它是否存在“加倍”矩形？请作出判断，说明理由．

Answer 1

（1）不存在． 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在． （相同解答均可给分，如：满足周长是2倍时，则面积就成了4倍，所以不存在）（4分） （2）存在．（5分） 设“加倍”矩形的长和宽分别为x，y． 则： x+y=2(m+n) xy=2mn ．（7分） x，y就是关于A的方程A 2 -2（m+n）A+2mn=0的两个正根．（8分） ∵△=[-2（m+n）] 2 -8mn=4（m 2 +n 2 ）（9分）． 当m，n不同时为零时，此题中，m＞0，n＞0． ∴△=4（m 2 +n 2 ）＞0．（10分） ∴方程有两个不相等的正实数根x和y（11分） 即：存在一个矩形是已知矩形的“加倍”矩形（12分）