Question

(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1) 2 ＋y 2 =1，圆N：(x－1) 2 ＋y 2 =9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆

(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1) 2 ＋y 2 =1，圆N：(x－1) 2 ＋y 2 =9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

Answer 1

依题意，圆M的圆心，圆N的圆心 ，故 ，由椭圆定理可知，曲线C是以M、N为左右焦点的椭圆（左顶点除外），其方程为 ； （2）对于曲线C上任意一点 ，由于 （R为圆P的半径），所以R=2，所以当圆P的半径最长时，其方程为 ； 若直线l垂直于x轴，易得 ； 若直线l不垂直于x轴，设l与x轴的交点为Q，则 ，解得 ，故直线l： ；有l与圆M相切得 ，解得 ；当 时，直线 ，联立直线与椭圆的方程解得 ；同理，当 时， .

（1）根据椭圆的定义求出方程；（2）先确定当圆P的半径最长时，其方程为 ，再对直线l进行分类讨论求弦长. 本题考查椭圆的定义、弦长公式、直线的方程，考查学生的运算能力、化简能力以及数形结合的能力.