Question

已知在各项不为零的数列{an}中，a1=1，anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N+）（I）求数列{an}的通项；（Ⅱ）若

已知在各项不为零的数列{an}中，a1=1，anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N+）（I）求数列{an}的通项；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=anan+1，数列{bn}的前n项和为Sn，求limn→∞Sn．

Answer 1

（Ⅰ）依题意，a_n≠0，故可将a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）整理得：

1

an

?

1

an?1

＝1(n≥2)
所以

1

an

＝1+1×(n?1)＝n即an＝

1

n

n=1，上式也成立，所以an＝

1

n

（Ⅱ）∵b_n=a_na_n+1
∴bn＝

1

n

×

1

n+1

＝

1

n(n+1)

＝

1

n

?

1

n+1

∴Sn＝b1+b2+b3++bn＝(

1

1

?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+(

1

3

?

1

4

)++(

1

n

?

1

n+1

)=1?

1

n+1

＝

n

n+1

∴

lim

n→∞

Sn＝

lim

n→∞

n

n+1

＝1