Question

若x，y∈R，设M=x2x2?3xy+y2（y≠0），则M的取值范围是______

若x，y∈R，设M=x2x2?3xy+y2（y≠0），则M的取值范围是______．

Answer 1

若x=0，则M=0，
若x≠0，
则M=

x2

x2? 3 xy+y2

=

1

1? 3 ? y x +( y x )2

，
设t=（

y

x

）²-

3

?

y

x

+1，
则t=（

y

x

）²-

3

?

y

x

+1=（

y

x

?

3

2

）²+

1

4

≥

1

4

，
∴0＜

1

t

≤4，
即此时0＜M≤4，
综

Answer 2

答案：解：若x=0，则M=0，
若x≠0，
则M=
x2
x2-

√
3

xy+y2

=
1
1-

√
3

?
y
x
+(
y
x
)2

，
设t=（
y
x
）2-

√
3

?
y
x
+1，
则t=（
y
x
）2-

√
3

?
y
x
+1=（
y
x
-

√
3

2
）2+
1
4
≥
1
4
，
∴0＜
1
t
≤4，
即此时0＜M≤4，
综上0≤M≤4，
故答案为：[0，4]．

点评：本题主要考查代数式的取值范围，利用条件进行转换为一元二次函数形式是解决本题的关键．
分析：分子分母同时除以x2，得到关于
y
x
的一元二次函数形式，然后利用一元二次函数的性质即可得到结论．