Question

一道高中数学数列不等式证明问题

求解第三问，请尽量不要用归纳法，我想要直接证明的方法
若非要归纳法，请写出详细过程，谢谢

Answer 1

1，令1+x=k 则f(x)=1/k-1/k^2*(t+1-k)=2/k-(t+1)/k^2 =-(t+1)(1/k-1/(t+1))^2+1/(t+1) 所以最大值为当1/k=1/(t+1)时取得为1/(t+1)
2，由Sn+S(n-2)=2S(n-1)+2^(n-1) 知Sn-S(n-1)=S(n-1)-S(n-2)+2^(n-1)=S(n-2)-S(n-3)+2^(n-1)+2^(n-2)=......=S2-S1+2^(n-1)+2^(n-2)+......+2^2=5+2^2+2^3+.....+2^(n-1)=2(1-2^(n-1)/(-1)=2^n+1
所以Sn-S(n-1)=2^n =>Sn=S(n-1)+2^n=> an=2^n+1
bn=1-1/an=1-1/(2^n) 因为f(x)最大值为1/(t+1)^2 所以只需证 bn>1/(2^n+1)^2
=>1-1/(2^n+1)>1/(2^n+1)
=>显然当n>=1时，这个成立
3. bn=1-1/(2^n+1)=2^n/(2^n+1) 则要证
b1+b2+...+bn=2/3+4/5+8/9+...+2^n/(2^n+1)>n^2/(n+1)
这个式子用归纳法证要好些。
当n=1时，b1=2/3>1/2 成立。
设n=k时，b1+b2+..+bk>k^2/(k+1)成立。
则n=k+1时，b1+b2+....+bk+b(k+1)>k^2/(k+1)+b(k+1)=k^2/(k+1)+2^(k+1)/(2^(k+1)+1)>(k+1)^2/(k+2)
=>k^2/(k+1)-(k+1)^2/(k+2)+2^(k+1)/(2^(k+1)+1)=((k+2)k^2-(k+1)^3)/(k+1)(k+2)+2^(k+1)/(2^(k+1)+1)=(K^3+2k^2-k^3-3k^2-3k-1)/(k+1)(k+2)+2^(k+1)/(2^(k+1)+1)
=(-k^2-3k-1)/(k+1)(k+2)+2^(k+1)/(2^(k+1)+1)>(-k^2-3k-1)/(k+1)(k+2)+((k+1)(k+2)-1)/(k+1)(k+2)
=0(最后这个2^(k+1)/(2^(k+1)+1)>((k+1)(k+2)-1)/(k+1)(k+2)我想大家都理解吧）
所以原式成立。

追问

第二问f(x)最大值为1/(t+1)，没有平方
2^(k+1)/(2^(k+1)+1)>((k+1)(k+2)-1)/(k+1)(k+2)这个式子在k=1,2,3的时候都不成立啊

追答

那个打错了。过程没问题。这个是这样的，当k=1,2,3时 均可求得b1>原式，b1+b2>原式b1+b2+b3>原式。当n=k 时 b1+b2+...bk>原式，那么n=k+1时，b1+b2+....b(k+1)>原式。
这样就不存在问题了。你提出的很好。因为你给出的递推式的条件是n>=3

追问

这个好麻烦，算了，还有递推式的n≥3和第三问没有什么关系- -

Answer 2

题呢？

追问

题目上传需要时间啊= =

Answer 3

......