Question

用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的微分方程，然后求出通解： ⑴xy'+y=y(lnx+ln

用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的微分方程，然后求出通解：
⑴xy'+y=y(lnx+lny)
⑵y'=y^2+2(sinx-1)y+sin^2x-2sinx-cosx+1

Answer 1

1、方程写作(xy)'=xyln(xy)/x，令u=xy，微分方程化为du/dx=ulnu/x，分量变量du/(ulnu)=dx/x，两边积分ln(lnu)=lnx+lnC，所以lnu=Cx，原方程的通解是lnx+lny=Cx。
2、方程写作y'+cosx=(y+sinx-1)^2，令u=y+sinx-1，微分方程化作du/dx=u^2，分量变量du/u^2=dx，两边积分-1/u=x+C，所以原方程的通解是-1/(y+sinx-1)=x+C或者y=-1/(x+C)-sinx+1。