Question

如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM=CN

如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM=CN．

Answer 1

证明：连接BE、EC，
∵BD=DC，DE⊥BC
∵BE=EC．
∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，
EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．
在Rt△BME和Rt△CNE中，
∵BE=EC，EM=EN

BE＝EC EM＝EN

，
∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）
∴BM=CN．

Answer 2

连接EB、EC。因为BD=DC,ED垂直于BC，则角BDE和角EDC相等，且有公共边ED，所以三角形BDE全等于三角形CDE，可知EB=CE。
因为EM垂直于AB,EN垂直于AC，且由AE平分角BAC知角BAE=角EAC，并且有公共边AE,所以有三角形AME=三角形AEN。可得到ME=EN。
综上，有EB=CE,ME=EN,且EM垂直于AB,EN垂直于AC，有三角形EMB全等于三角形CEN，所以有BM=CN

Answer 3

连接BE、CE
因为BD=DC,DE⊥BC
所以BC＝CE
（线段垂直平分线上的点到这条线段两端距离相等）
因为AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC
所以EM＝EN
（角平分线上的点到角的两边距离相等）
所以△BEM≌△CEN（HL）
所以BM＝CN
供参考！JSWYC