Question

已知：如图，抛物线y=ax^2－2ax+c(a≠0)与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A,B,点A的坐标为（4，0）

已知，如图抛物线y＝ax2—2ax＋c．(a≠0)与y轴交于点c（0，4）与x轴交与A、B，点A的坐标为（4，0）
（1） 求该抛物线的解析式
（2） 点Q是线段AB上的动点，过点Q做QE‖AC，交BC与点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标。
（3） 若平行于X轴的动直线L与该抛物线交与点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0），问：是否存在这样的直线L使得△ODF是等腰三角形?若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由

Answer 1

解：（1）∵点C（0，4），
∴c=4，
∵点A的坐标为（4，0），
∴0=16a-8a+4，
∴a=-12，
∴y=-12x2+x+4；

（2）∵△ABC与△ABM的面积相等，
C点坐标为：（0，4），
∴M的纵坐标为：±4，
∴4=-12x2+x+4；
解得：x 1=0，x 2=2，
∴M点的坐标为：（2，4），
当-4=-12x2+x+4；
解得：x 1=1+17，x 2=1-17，
∴M点的坐标为：（1+17，-4）或（1-17，-4），
∴综上所述：M点的坐标为：（2，4）、（1+17，-4）或（1-17，-4）；

（3）∵B（-2，0，），AB=6，
S△ABC=12×6×4=12，
设BQ=x，
∵EQ∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴（BQAB）2=S△BEQS△ABC=（x6）2，
∴S△BEQ=x236×12=13x2，
∴S△CQE=12x×4-13x2=-13x2+2x，
当x=-b2a=22×
13=3时，S△CQE面积最大，
∴Q点坐标为（1，0）；

（4）存在，
在△ODF中，
①若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
又在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，此时，点F的坐标为：（2，2），
由-12x2+x+4=2，
解得：x1=1+5，x2=1-5，
此时，点P的坐标为：P（1+5，2）或P（1-5，2）；
②若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M，
由等腰三角形的性质得出：
OM=12OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰三角形△AMF中，MF=MA=3，
∴F（1，3），
由-12x2+x+4=3，
解得：x1=1+3，x2=1-3，
此时，点P的坐标为：P（1+3，3）或P（1-3，3）；
③若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=42，
∴点O到AC的距离为22，而OF=OD=2＜22，
∴此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
综上所述：存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为：
P（1+5，2）或P（1-5，2）或P（1+3，3）或P（1-3，3）．

Answer 2

第一问 带入坐标可算出来。（2）S△CQE=ACQ的面积-AQE的面积。设Q(x,0),具体自己算
（3)点 F的横坐标已知为1设纵坐标为y则F为（1，y）另外OF=FD 可算出y 得出动直线的方程，再联立两个方程可算出P的坐标。
简单吧。。。

Answer 3

解：（1）∵点C（0，4），
∴c=4，
∵点A的坐标为（4，0），
∴0=16a-8a+4，
∴a=-12，
∴y=-12x2+x+4；

（2）∵△ABC与△ABM的面积相等，
C点坐标为：（0，4），
∴M的纵坐标为：±4，
∴4=-12x2+x+4；
解得：x 1=0，x 2=2，
∴M点的坐标为：（2，4），
当-4=-12x2+x+4；
解得：x 1=1+17，x 2=1-17，
∴M点的坐标为：（1+17，-4）或（1-17，-4），
∴综上所述：M点的坐标为：（2，4）、（1+17，-4）或（1-17，-4）；

（3）∵B（-2，0，），AB=6，
S△ABC=12×6×4=12，
设BQ=x，
∵EQ∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴（BQAB）2=S△BEQS△ABC=（x6）2，
∴S△BEQ=x236×12=13x2，
∴S△CQE=12x×4-13x2=-13x2+2x，
当x=-b2a=22×
13=3时，S△CQE面积最大，
∴Q点坐标为（1，0）；

（4）存在，
在△ODF中，
①若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
又在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，此时，点F的坐标为：（2，2），
由-12x2+x+4=2，
解得：x1=1+5，x2=1-5，
此时，点P的坐标为：P（1+5，2）或P（1-5，2）；
②若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M，
由等腰三角形的性质得出：
OM=12OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰三角形△AMF中，MF=MA=3，
∴F（1，3），
由-12x2+x+4=3，
解得：x1=1+3，x2=1-3，
此时，点P的坐标为：P（1+3，3）或P（1-3，3）；
③若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=42，
∴点O到AC的距离为22，而OF=OD=2＜22，
∴此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
综上所述：存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为：
P（1+5，2）或P（1-5，2）或P（1+3，3）或P（1-3，3）．

Answer 4

已知，如图抛物线y＝ax2—2ax＋c．(a≠0)与y轴交于点c（0，4）与x轴交与A、B，点A的坐标为（4，0）
（1） 求该抛物线的解析式
（2） 点Q是线段AB上的动点，过点Q做QE‖AC，交BC与点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标。
（3） 若平行于X轴的动直线L与该抛物线交与点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0），问：是否存在这样的直线L使得△ODF是等腰三角形?若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由