数学 初等数论 证明不存在整数m、n，使得m^2=n^2+2。并归纳推广出一般结论。 怎样归纳推
数学初等数论证明不存在整数m、n，使得m^2=n^2+2。并归纳推广出一般结论。怎样归纳推广出一般结论。？...
数学 初等数论
证明不存在整数m、n，使得m^2=n^2+2。并归纳推广出一般结论。
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证明不存在整数m、n，使得m^2=n^2+2。并归纳推广出一般结论。
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假设存在m,n
2n^2+2n=m^2+1,由于左边是偶数,因此m^2必为奇数,m=2k+1
2n(n+1)=(2k+1)^2=4k^2+4k+2=2(2k^2+2k+1)
n,n+1中必有一个是偶数,故2n(n+1)是4的倍数,但2k^2+2k+1是奇数
2(2k^2+2k+1)不是4的倍数,矛盾
2n^2+2n=m^2+1,由于左边是偶数,因此m^2必为奇数,m=2k+1
2n(n+1)=(2k+1)^2=4k^2+4k+2=2(2k^2+2k+1)
n,n+1中必有一个是偶数,故2n(n+1)是4的倍数,但2k^2+2k+1是奇数
2(2k^2+2k+1)不是4的倍数,矛盾
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追问
推广出一般结论呢？
追答
利用放缩法,需要把左式放小,既左式分母放大,你应该知道吧：lnX小于等于X-1.所以左式可放小为1/M+1/(M+1).+1/(m+n-1）,继续放小左式为n/(m+n-1)所以只需证明m+n-1)小于 m(m+n）,做差在提公因式就OK了
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