Question

已知直线l过点P(3,2)且与x轴和y轴的正半轴分别交于AB两点求绝对值PA*PB的值最小时的直线l的方程。

用参数方法做！

Answer 1

设l方程 y=k(x-3)+2 （k<0)
x=0时,y=2-3k B(0,2-3k)
y=0时，x=3-2/k, A(3-2/k,0)
|PA|=√(4/K^2+4),|PB|=√(9+9K^2)

|PA|*|PB|=√[(4/K^2+4)(9+9K^2)]
=√[(36/K^2+36K^2+72]≥√(2*36+72)=12
均值定理 36/K^2+36K^2≥2√(36k^2*36/k^2)=2*36
当 36K^2=36/K^2 ,K=-1时取等号，|PA|*|PB|取得最小值12
∴直线l的方程为y=-x+5

追问

谢谢你的回答，不好意思是我没说清，可不可以用参数方法做。

追答

设l上任意一点M（x,y)，l的参数方程为
x=3+tcosα, y=2+tsinα,
t=PM为参数,α为常数，为l的倾斜角 π/2<α<π
x=0时，t=-3/cosα,∴|PB|=3/|cosα|
y=0时，t=-2/sinα,∴|PA|=2/|sinα|
|PA|*|PB|=6/|sinαcosα|=12/|sin2α|≥12
sin2α=-1，2α=3π/2,α=3π/4时，
|PA|*|PB|取得最小值12
此时，l:x=3-t/√2,y=2+t/√2
消参相加，x+y=5