Question

如果mn都是正数且方程x²+ mx +2n=0和x²+2nx +m＝0都有实根，求m+n最小值

Answer 1

两方程有实根则判别式不小于0:
m²-8n≥0→m²≥8n
4n²-4m≥0→n²≥m
两同向不等式相加得
m²+n²≥8n+m
设m+n=t≥0，代入上式得
(t-n)²+n²≥8n+(t-n)
→2n²-(2t+7)n+t²-t≥0
上式恒成立则判别式不大于0，故
(2t+7)²-8(t²-t)≤0
→4t²-36t-49≥0
考虑到t≥0，解上式得
t≥(9+√130)/2
故所求最小值为: (9+√130)/2。