Question

若曲线y=2/3x2+1的切线垂直于直线2x+6y+3=0,则这条切线的方程是？

Answer 1

第一个方程是y=(2/3)x^2+1吗？
解：
y=(2/3)x^2+1
y'=4x/3
也就是说，y=4x/3是曲线y=(2/3)x^2+1的切线。
已知直线2x+6y+3=0的斜率是-1/3
而两直线垂直的条件是两只线的斜率之积是-1。
这是不可能的。
所以，已知曲线的切线不可能与已知直线垂直。

Answer 2

直线2x+6y+3=0 斜率k1=-1/3 切线垂直于直线 切线斜率k=3
y=2/3x2+1 y'=3x k=y'=4/3x=3 x=9/4 y=8/27
y=3x-27/4+8/27
方程是y=3x-27/4+8/27
这个题有点别扭，不知道是不是原题有误

Answer 3

直线2x+6y+3=0的斜率为-1/3,与它垂直的直线的斜率为k=3.
设切线方程为y=3x+b。则切线与曲线相交于一点且只有一个交点。将直线方程代入曲线方程得
2/3x^2-3x+1-b=0 则该方程有且只有一个实数解。则有△=（-3）^2-4*(2/3)*(1-b)=0
解此方程得b=-19/8
所以切线方程为y=3x-19/8 也可以化成 24x-8y-19=0

Answer 4

答：该切线的方程是3x-y+19/8=0
解：设该切线的方程为y=kx+b
∵切线与直线2x+6y+3=0（y=-1/3x-1/2）垂直
∴k=3
∴联立 y=3x+b,y=2/3x²+1 得2/3x²-3x+1+b=0
又∵相切
∴令△=0
即(-3)²-4×2/3×(1-b)=0
∴b=19/8
所以切线方程为 y=3x+19/8 (3x-y+19/8=0)