Question

设函数f(x)=x^3-( 9/2)x^2+6x-a,若方程f(x)=0有且仅有一个实数根，求a的取值范围

Answer 1

设F(x)=x^3-( 9/2)x^2+6x
F(x)'=3x^2-9x+6=3(x^2-3x+2)=3(x-1)(x-2)
即F(x)在（-无穷，1）为增函数，F(x)极大=F(1)=5/2
F(x)在（1，2）为减函数 F(x)极小=F(2)=2
F(x)在（2，1）为增函数 x趋近+无穷，F(x)趋近+无穷
f(x)=F(x)-a=0有且仅有一个实数根时，则表示直线y=a与F(x)仅有一个交点，
参照F(x)的图形可知，当a＞5/2或a＜2时，F(x)-a=0有且仅有一个实数根

Answer 2

把它看成是y1=x^3-( 9/2)x^2+6x与y2=a的交点个数
讲y1求导，得出极大值与极小值，再根据这个值画出大致图像
y2是常数函数，于y轴垂直，
接着就去看看y2=a在什么范围内会跟y1只有1个交点，求出来的a就是题目要求的范围了

Answer 3

f(x)=x^3-( 9/2)x^2+6x-a,
求导
f'(x)=3x²-9x+6
=3(x²-3x)+6
=3(x-3/2)²-3/4=0
得 x-3/2=1/2 x=2
或 x-3/2=-1/3 x=1

在(负无穷,1)上单增
在(1,2)上单减
在(2,正无穷)上单增
f(1)=1-9/2+6=5/2
f(2)=8-9+12=11
所以
只要 a＜5/2或a>11即可